PENALARAN MATEMATIKA

Abdul Halim Fathani

BERPIKIR matematis merupakan kegiatan mental yang dalam prosesnya selalu menggunakan abstraksi dan/atau generalisasi. Salah satu hal penting yang diusung para ilmuwan di era Euclides adalah berpikir aksiomatis. Yaitu, suatu pernyataan yang dibuat mesti berlandaskan pada pernyataan sebelumnya, pernyataan sebelumnya harus berlandaskan pernyataan sebelumnya lagi dan seterusnya, sehingga sampai pada pernyataan yang paling awal diajukan. Pernyataan yang paling awal diajukan ini dianggap benar dan jelas dengan sendirinya. Pernyataan awal seperti itu disebut aksioma. Dengan aksioma kita tidak perlu membuktikan kebenarannya. Kebenarannya kita terima begitu saja karena telah jelas dengan sendirinya (Om Tris, 2006).

Misalnya, apabila kita menyatakan bahwa setiap siswa harus belajar Matematika. Maka, muncul pertanyaan selanjutnya, yaitu: mengapa siswa perlu belajar matematika? (Salah satu) jawabannya adalah, agar dapat lulus ujian Nasional (UN). Pertanyaan berikutnya: mengapa siswa perlu lulus ujian nasional (UN)? Karena, siswa ingin melanjutkan studi ke perguruan tinggi. Mengapa siswa ingin melanjutkan studi ke perguruan tinggi? Karena siswa tersebut ingin menjadi guru SMA (sesuai UU Sisdiknas No. 20 Tahun 2003, guru SMA harus minimal lulusan S-1). Pertanyaan selanjutnya adalah mengapa siswa tersebut ingin menjadi guru SMA? Karena siswa tersebut ingin menjadi orang yang dapat mengamalkan ilmu. Lalu, mengapa kok harus mengamalkan ilmunya? Karena ingin dalam hidupnya, ia bermanfaat bagi orang lain. Mengapa ingin bermanfaat bagi orang lain? Karena ingin mendapat ridla Allah swt. Mengapa ingin mendapat ridla Allah swt? Nah, di titik ini, kita sudah kesulitan menemukan jawaban yang meyakinkan. Kemudian, kita berkata, “Semua orang tahu bahwa setiap siswa perlu untuk mendapat ridla Allah swt”. Di ujung pernyataan semacam inilah orang tidak memikirkan pertanyaan lanjutan karena kebenarannya diterima begitu saja.

Pada hakikatnya landasan berpikir matematis itu merupakan kesepakatan-kesepakatan yang disebut aksioma. Dengan aksioma-aksioma inilah matematika berkembang menjadi banyak cabang matematika. Karena matematika itu landasannya adalah aksioma, maka matematika merupakan sistem aksiomatik. Dalam sistem yang aksiomatik inilah, maka kumpulan aksioma-aksioma itu memiliki sifat taat azas (consistent) dan hubungan antar aksioma adalah saling bebas (adjoint) (Hudojo, 1990: 66).

Ada beberapa syarat agar berpikir secara aksiomatis ini sah dan benar, yaitu:

Pertama, harus ada konsistensi antara pernyataan yang satu dengan pernyataan yang lain. Tidak boleh ada pernyataan yang saling bertentangan. Sehingga harus berlaku dalil: jika A = B, dan B = C maka A = C.

Kedua, setiap pernyataan yang disusun harus dapat menghasilkan satu atau lebih pernyataan yang lain. Misalnya setiap siswa perlu belajar matematika. Apakah dari pernyataan [pada tingkat] ini ada pernyataan lain yang dapat diturunkan? Siswa perlu belajar matematika karena ingin lulus ujian nasional (UN), selanjutnya digunakan untuk melanjutkan studi ke perguruan tinggi kemudian untuk mendaftar jadi guru SMA, dan seterusnya.

Ketiga setiap aksioma yang ditetapkan harus bebas dari aksioma yang lain. Selama masih terkait dengan pernyataan yang lain maka, penyataan itu belum disebut aksioma.

Euclides menyajikan sejumlah aksioma. Di antaranya adalah:
1. Jika A sama dengan B maka berlaku B sama dengan A
2. Jika A = B dan C = D maka belaku A + C = B + D
3. Jika A = B dan C = D maka belaku A – C = B – D
4. Keseluruhan lebih besar dari sebagian
5. Kita selalu dapat membuat garis lurus dari sebuah titik ke sebuah titik yang lain
6. Semua sudut siku-siku selalu sama satu dengan yang lain. (Om Tris, 2006).

Dari suatu aksioma (sering juga disebut postulat) dapat diturunkan suatu dalil. Misalnya dari aksioma 5 dapat diturunkan pernyataan baru berikut ini: melalui sebuah titik P yang berada di luar sebuah garis g hanya dapat dibuat satu garis lain l yang tegak lurus dengan garis g itu. Karena ini merupakan hasil turunan dari pernyataan yang lain maka pernyataan ini bukan aksioma, bukan postulat. Karena itu kebenarannya harus dibuktikan.

Cara berpikir aksiomatis ini merupakan salah satu tonggak utama perkembangan matematika era Yunani. Dua tonggak yang lain adalah berkaitan dengan ke-takberhingga-an dan limit serta proses penjumlahannya. Masalah tak-berhingga dan limit pada jaman itu belum dapat dijawab sampai pada waktu ditemukan cabang matematika lain yang disebut kalkulus. Tonggak lain berkaitan dengan geometri ‘tingkat lanjut’ yaitu membicarakan selain garis lurus dan lingkaran.

Aksioma-aksioma yang dipergunakan untuk menyusun sistem matematika itu akan menentukan bentuk sistem matematika. Apabila aksiomanya diubah maka sistemnya pun akan ikut berubah sehingga teorema-teoremanya yang diperoleh dari aksioma-aksioma yang menggunakan penalaran deduktif akan berubah pula.

Dalam semua penalaran deduktif, kesimpulan yang ditarik merupakan akibat logis dari alasan-alasan yang bersifat umum menjadi hal yang bersifat khusus. Dengan alasan-alasan bersifat umum yang mendasarinya, kesimpulan yang tidak perlu lagi diragukan. Penerapan cara berpikir deduktif ini akan menghasilkan teorema-teorema. Teorema-teorema inilah yang selanjutnya digunakan untuk menyelesaikan masalah-masalah baik dalam matematika sendiri maupun ilmu lain.

Perumusan yang diperoleh dari penalaran induktif bukan termasuk kategori berpikir matematika. Menalar secara induksi (bedakan dengan pembuktian metode induksi matematik) memerlukan pengamatan yang akan digunakan sebagai dasar argumentasi sebab penarikan kesimpulannya berasal dari alasan-alasan yang bersifat khusus menjadi berifat umum. Padahal pengamatan itu terbatas dan tidak cermat, walaupun menggunakan alat-alat yang mutakhir dan canggih sekalipun. Dengan demikian hasil pengamatan tidak akan memperoleh hasil akhir (kesimpulan) yang sahih.

Berpikir deduktif digunakan untuk menentukan agar kerangka pemikiran itu koheren dan logis. Matematika yang logis itu dapat menemukan pengetahuan baru dari pengetahuan sebelumnya yang sudah diketahui. Walupun matematika itu menggunakan penalaran deduktif, namun proses kreatif juga terjadi yang kadang-kadang menggunakan intuisi, imajinasi, penalaran induktif, atau bahkan coba-coba (trial and error). Tetapi, pada akhirnya penemuan dari proses kreatif harus diorganisasikan dengan pembuktian secara deduktif. (Hudojo, 1990:67). Hal inilah yang sebenarnya dinamakan bahwa dalam proses belajar matematika itu tidak hanya menggunakan otak kiri saja, tetapi juga harus memiliki tingkat imajinasi, intuisi yang tinggi yang nota bene merupakan bagian dari fungsi otak kanan.

Aksioma sebagai landasan matematika itu dapat diperoleh dari dunia nyata atau alam sekitar sebagai sumber inspirasi yang selanjutnya diabstraksikan dan digeneralisasikan dengan menggunakan simbol-simbol. Dengan menggunakan bahasa matematika yang penalarannya deduktif, diperoleh teorema, yang kemudian dikembangkan menjadi teorema-teorema yang pada akhirnya dapat diaplikasikan terhadap ilmu-ilmu lain yang bermanfaat untuk kehidupan di dunia ini.[ahf]

http://www.timesindonesia.co.id/read/152041/20170716/100857/penalaran-praktis-matematika/

Tinggalkan Balasan

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *